[전공]Box-Muller Transform

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Box-Muller Transform

April 7, 2023, 6:53 p.m.

Box-Muller Transform은 균등분포 랜덤변수 U1, U2를 서로 독립인 가우시안 분포 Z1, Z2로 바꾸어주는 변환이다.

U1, U2가 Independent 하고 [0, 1] 범위를 가지는 Uniformly Distributed Random Variable이라고 할때, 공식은 아래와 같다.

$Z_1 = \sqrt{-2ln(U_1)} cos(2\pi U_2)$ $Z_2 = \sqrt{-2ln(U_1)} sin(2\pi U_2)$

가우시안 분포를 자연적으로 만들기 쉽지 않은데 이런 간단한 변환 공식을 거치면 가우시안 분포처럼 된다는 것이 신기하다.

아래는 파이썬으로 만든 간단한 데모이다.

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Apr  7 17:38:54 2023

@author: jellyho
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from itertools import permutations

N = 2000

np.random.seed(413)
U = np.random.uniform(0.0, 1.0, 2 * N)
U1 = U[[i%2==1 for i in range(N*2)]]
U2 = U[[i%2==0 for i in range(N*2)]]

Z1 = np.sqrt(-2*np.log(U1))*np.cos(np.pi*2*U2)
Z2 = np.sqrt(-2*np.log(U1))*np.sin(np.pi*2*U2)


plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.xlim(-4, 4)
plt.ylim(-4, 4)
def mask_R(r):
    return ((r+1 > np.sqrt(Z1**2 + Z2**2)) & (np.sqrt(Z1**2 + Z2**2) >=r))
def mask_div(i):
    conds = [(Z1 >= 0) & (Z2 > 0)
             , (Z1 < 0) & (Z2 >= 0)
             , (Z1 <= 0) & (Z2 < 0)
             , (Z1 > 0) & (Z2 <= 0)]
    return conds[i]

for i in range(4):
    for j in range(4):
        cond_R = mask_R(i)
        cond_div = mask_div(j)
        mask = cond_R & cond_div
        print(f'{i} {j} : {np.count_nonzero(mask)}')
        plt.scatter(Z1[mask], Z2[mask], s=20)

plt.plot([np.cos(t/100*np.pi) for t in range(200)], [np.sin(t/100*np.pi) for t in range(200)], color='b', linestyle=((0, (5, 5))))
plt.plot([2*np.cos(t/100*np.pi) for t in range(200)], [2*np.sin(t/100*np.pi) for t in range(200)], color='b', linestyle=((0, (5, 5))))
plt.plot([3*np.cos(t/100*np.pi) for t in range(200)], [3*np.sin(t/100*np.pi) for t in range(200)], color='b', linestyle=((0, (5, 5))))
plt.plot([-4, 4], [0, 0], color='black')
plt.plot([0, 0], [-4, 4], color='black')
plt.show()